Mit Blick auf die Jahreszeit würde ich an eurer Stelle die Alpensüdseite, also Kärnten, empfehlen.  Der Juni kann auf der Nordseite recht unsicher sein.  Schaut euch mal das Dorfhotel Seeleitn (am Faaker See) oder auch Schönleitn (mitten auf dem Berg an).  Da ist für jeden was dabei und verpflegungstechnisch habt ihr alle Möglichkeiten.