Hallo Thomas,
der AirTrain verbindet nur die Terminals in Newark untereinander und diese mit der Penn Station Newark (nicht zu verwechseln mit dem gleichnamigen Bahnhof in Manhattan). Ich empfehle, von der Penn Station mit dem Zug (NJ Transit) zur Penn Station Manhattan zu fahren.
Der AirTrain in EWR ist kostenlos, für den NJ Transit kannst du Tickets am Flughafen kaufen oder an der Penn Station Newark.
Einen Bus gibt es auch, hierzu habe ich keine Erfahrung.
der ÖPNV von EWR ist nicht mit der Metrocard - der Flughafen liegt in einem anderen Staat.